Задачі з параметрами: три опорні прийоми

Чому параметри здаються складними

У звичайній задачі невідоме одне — x. У задачі з параметром їх два: x і a, причому a «командує» тим, скільки коренів матиме рівняння. Мозок намагається шукати число, а шукати треба опис ситуації.

Прийом 1. Аналіз за коефіцієнтами

Найпростіший і найчастіший. Записуємо рівняння у стандартному вигляді й дивимося, що робить параметр зі старшим коефіцієнтом.

Для ax² + bx + c = 0 розбір завжди починається з двох гілок: a = 0 (рівняння лінійне) і a ≠ 0 (працюємо з дискримінантом). Пропущена перша гілка — найпоширеніша втрата балу.

Прийом 2. Виділення параметра

Якщо параметр входить лінійно, виражай його: a = f(x). Тоді питання «скільки коренів має рівняння» перетворюється на питання «скільки точок перетину має горизонтальна пряма y = a з графіком y = f(x)». Це той самий графічний метод, але без побудови складних кривих — достатньо ескізу.

Прийом 3. Симетрія

Якщо рівняння не змінюється при заміні x на −x, корені йдуть парами. Умова «рівняння має єдиний корінь» тоді означає, що цей корінь дорівнює нулю — підставляємо x = 0 і одразу отримуємо кандидатів на a. Далі обовʼязково перевіряємо кожного кандидата: необхідна умова ще не є достатньою.

Порядок дій на іспиті

1. Звести до стандартного вигляду.
2. Виписати обмеження: знаменники, підкореневі вирази, основи логарифмів.
3. Розібрати вироджений випадок (старший коефіцієнт нуль).
4. Розібрати основний випадок.
5. Перевірити знайдені значення параметра підстановкою.

Пункти 2 і 5 пропускають найчастіше — саме там і живуть втрачені бали.